Локальная и глобальная системы координат



Построение матриц жесткости конечных элементов удобно осу­ществлять в локальной системе координат.

Это позволяет не привя­зывать конечные элементы к реальным системам, а иметь библиотеку «инвариантных» конечных элементов. При построении расчетных схем для решения конкретных задач обычно все операции проводят в системе координат, единой для всей расчетной схемы, так называе­мой глобальной системе координат. Пример глобальной и локальной систем координат показан на рис. 2.3.

В процессе решения приходится вначале приводить матрицы жесткости всех конечных элементов к глобальной системе координат, а на завершающей стадии расчета, при определении усилий в элемен­тах, выполнять обратное преобразование. Таким образом, перемеще­ния в узлах расчетной схемы определяются в глобальной системе ко­

ординат, а усилия в конечных элементах - в локальных системах ко­ординат для каждого конечного элемента.

Переход от локальной системы координат к глобальной и обрат­но выполняется при помощи известных формул линейной алгебры. Так, перемещения концов стержней в глобальной системе координат через заданные перемещения в локальной системе координат опреде­ляются по формулам

(2.3)

Обратное преобразование выполняется по формулам

(2.4)


где - перемещения узла конечного элемента с номером /

в глобальной системе координат;перемещения узла конеч­

ного элемента с номером / в локальной системе координат;- углы, образованные осями локальной и глобальной систем координат.

Эти же зависимости в матричной форме имеют вид

(2.5)

(2.6)

Матрицы А и А' содержат направляющие косинусы углов меж­ду осями локальной и глобальной систем координат.

В случае, когда обе координатные системы прямоугольные, матрицапринимает вид

(2.7)

Косинус угла а между осями глобальной и локальной систем координат можно вычислить по формуле


(2.8)

где / - длина конечного элемента;


- координаты узлов элемента в глобальной системе коор-


динат.

Стандартная матрица преобразования координат шарнирно-стер­жневого конечного элемента с двумя узлами имеет следующий вид:

(2.9)

Для приведенного выше конечного элемента матрица преобра­зования координат

(2.9')

Отличие в знаках элементов матриц (2.9) и (2.9') обусловлено выбором положительных направлений единичных перемещений, при­нимаемых при выводе матрицы жесткости (2.1). Перемещение вдоль оси стержня для левого узла задавалось по направлению отрицатель­ных значений оси X. Выбор такого направления единичного переме­щения в дальнейшем позволяет получить усилия в стержне с действи­тельными знаками. Если задавать направления всех единичных пере­мещений совпадающими с положительными направлениями координатных осей, то знак усилия в первом сечении будет обрат­ным. Подробные сведения о преобразованиях в различных системах координат можно найти в [5].

2.5.

<< | >>
Источник: Лебедев, А. В.. Численные методы расчета строительных конструкций: учеб. пособие. 2012

Еще по теме Локальная и глобальная системы координат:

  1. Матрица жесткости шарнирно-стержневого элемента в глобальной системе координат
  2. Спутниковые геодезические определения координат точек
  3. Составление локальных смет
  4. Локальный сметный расчет на монтаж панелей перекрытий
  5. Часть II. ОБЕСПЕЧЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ВОДОСНАБЖЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И СТРОИТЕЛЬСТВАГлава 6. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ И СТРОИТЕЛЬСТВУ СИСТЕМ ПИТЬЕВОГО ВОДОСНАБЖЕНИЯ
  6. Геоинформационные системы
  7. Раздельная система вентиляции и кондиционирования
  8. ТИПЫ ОТОПИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
  9. СИСТЕМЫ СКОЛЬЗЯЩЕЙ ОПАЛУБКИ
  10. Сплит-системы