Матрица жесткости шарнирно-стержневого элемента в глобальной системе координат

Рассмотрим шарнирно-стержневой конечный элемент, произ­вольно ориентированный относительно глобальной системы коорди­нат (рис. 2.5).

Рис.

2.5. Шарнирно-стержневой элемент в глобальной системе координат

Для вывода матрицы жесткости этого конечного элемента вос­пользуемся принципом возможных перемещений. По определению коэффициенты матрицы жесткости представляют собой реакции в связях от единичных перемещений. Задавая последовательно по на­правлению узловых связей единичные перемещения, составим урав­нения возможных работ внешних и внутренних сил. Внешними сила­ми в данном случае будут искомые реакции в связях, а внутренними - усилия в элементе, возникающие от задаваемых единичных переме­щений, которые и выполняют здесь роль возможных.

Всего необходимо вычислить 16 значений величин реакций (по 4 реакции от каждого из 4 единичных перемещений). Эти реакции, записанные в виде таблицы, и образуют искомую матрицу жесткости


Последовательно задаваемые единичные перемещения по на­правлению глобальных осей координат можно представить единич­ной матрицей

(2.10)

Работу внешних сил определим по формуле

(2.11)

Работа внутренних сил представляет собой работу усилий в стер­жне N на деформациях V. Значения внутренних усилий и деформаций определяются для фиксированных сечений стержня и в матричной форме могут быть представлены в виде


где т - число расчетных сечений конечного элемента.

Итак, работа внутренних сил

(2.13)

Операция транспонирования матрицы V в (2.13) обусловлена правилами матричной алгебры.

Определим усилия. Усилия в конечном элементе вычисляются в локальной системе координат по формуле

но, согласно (2.5),

так как матрицапредставляет собой единичную матрицу.

Деформации также определяются в локальной системе координат

Подставляя в (2.13) выражения дляполучим для работы

внутренних сил выражение

Приравнивая выражения для работы внешних и внутренних сил, получим для вычисления матрицы жесткости в глобальной системе координат формулу

(2.15)

Формула (2.15) может быть использована для вычисления мат­рицы жесткости любого конечного элемента, если известна его мат­рица в локальной системе координат г и матрица преобразования А.

Пример 6. Рассмотрим решение задачи с использованием выве­денной матрицы жесткости шарнирно-стержневого конечного элемен­та. На рис 2.6 показаны заданная система и соответствующая ей ко­нечно-элементная модель. Последняя представляет собой конечные элементы, соединенные между собой в узле. Конечные элементы, узлы и связи конечно-элементной модели пронумерованы. При этом номе­ра конечных элементов можно задавать произвольно, а номера узлов должны соответствовать номерам элементов. Узлы каждого конечно­го элемента должны быть пронумерованы подряд. Номера перемеще­ний (или связей) в узлах также должны соответствовать номерам уз­лов конечных элементов, при этом первым в каждом узле нумеруется перемещение вдоль оси Х0 и следом за ним перемещение ВДОЛЬ ОСИ 70 (см. рис. 2.6).


Рис. 2.6. Заданная система и конечно-элементная модель

Матрицы жесткости конечных элементов в локальной системе координат имеют вид




Матрицы жесткости конечных элементов 1 и 2 в глобальной си­стеме координат, вычисленные по формуле (2.15):


Здесь для удобства дальнейших вычислений общие множители обеих матриц приведены к одному значению.

Для построения матрицы жесткости конечно-элементной моде­ли объединим две полученные матрицы в одну таким образом, чтобы реакции в связях, относящихся к обоим конечным элементам (это связи 3 и 4), суммировались. Полная матрица жесткости конечно-элемент­ной модели имеет вид


Процесс объединения матриц жесткости в МКЭ обычно называ­ют ансамблированием. Фактически он представляет собой суммиро­вание коэффициентов матриц с одинаковыми номерами и запись их в соответствующие ячейки матрицы жесткости всей системы.

Определим реакции в связях конечно-элементной модели от на­грузки. Для этого вырежем узел, в котором приложена сосредоточен­ная силаР = 4 кН, и составим уравнения равновесия. Так как конеч­но-элементная модель фактически представляет собой основную си­стему метода перемещений, то усилия в стержнях от узловой нагрузки не возникают. Тогда реакции в связях

Система канонических уравнений МКЭ (в форме метода пере­мещений) для конечно-элементной модели принимает вид

или в развернутой форме вид


Как отмечалось выше, при построении конечно-элементной мо­дели изначально предполагается, что по направлению всех узловых связей могут возникать перемещения. Это означает, что конечно-эле­ментная модель не закреплена в каких-то конкретных точках. Для установления эквивалентности конечно-элементной модели заданной системе необходимо учесть граничные условия или условия опира- ния, то есть прикрепить конечно-элементную модель к неподвижным точкам либо к земле так же, как прикреплена заданная система. Учет граничных условий математически осуществляется приравниванием нулю заведомо отсутствующих в заданной системе перемещений. Для этого достаточно вычеркнуть из системы уравнений (2.16) строки и столбцы, соответствующие этим нулевым перемещениям. В рассмат­риваемой системе граничные условия имеют вид


и система уравнении с учетом граничных условии


Ее решение


Для определения усилий в стержнях воспользуемся выражени­ем (2.14). Составим векторы перемещений конечных элементов в гло­бальной системе координат:





Векторы усилий в конечных элементах N и N2 содержат усилия в сечениях, расположенных на левом и правом концах конечного эле­мента. Первая строка представляет собой значение продольной силы, вторая строка - значение поперечной силы (соответствует второму перемещению при выводе матрицы жесткости конечного элемента). Третья и четвертая строки - те же усилия для сечения, расположенно­го на правом конце стержня.

2.4.

<< | >>
Источник: Лебедев, А. В.. Численные методы расчета строительных конструкций: учеб. пособие. 2012

Еще по теме Матрица жесткости шарнирно-стержневого элемента в глобальной системе координат:

  1. Матрица жесткости шарнирно-стержневого конечного элемента
  2. Локальная и глобальная системы координат
  3. Общая формула вычисления матриц жесткости
  4. Пространственно-стержневая система типа структуры иэ стальных трубчатых пирамидальных элементов (на примере покрытия зала 66X60 м)
  5. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
  6. ЭПЮРЫ И ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
  7. Тема 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ
  8. Спутниковые геодезические определения координат точек
  9. Устройство пояса жесткости
  10. Минераловатные плиты повышенной жесткости
  11. Минераловатные мягкие, полужесткие, жесткие и повышенной жесткости плиты на синтетическом связующем (ГОСТ 9573)
  12. Основные параметры конечных элементов
  13. Часть II. ОБЕСПЕЧЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ВОДОСНАБЖЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И СТРОИТЕЛЬСТВАГлава 6. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ И СТРОИТЕЛЬСТВУ СИСТЕМ ПИТЬЕВОГО ВОДОСНАБЖЕНИЯ
  14. 2. Метод конечных элементов (МКЭ) в расчетах строительных конструкций
  15. ЭЛЕМЕНТЫ НАДЗЕМНОЙ ЧАСТИ ОСТОВА — СТЕНЫ И КАРКАСЫ