Метод конечных элементов для решения дифференциальных уравнений

Рассмотренные выше методы решения дифференциальных урав­нений, описывающих напряженно-деформированное состояние раз­личных систем, как уже было отмечено, удобно применять для анали­за континуальных систем с непрерывно изменяющейся нагрузкой и краевыми условиями.

Это связано с тем, что решение задачи ищет­ся в виде одной функции, описывающей поведение конструкции в целом.

В большинстве встречающихся на практике случаев исследуе­мые системы состоят из некоторого числа различных конструктив­ных элементов или рассчитываются на нагрузку в виде сосредоточен­ных сил либо распределенную нагрузку, приложенную в ограничен­ных областях. Моделирование таких систем при помощи одной функции представляется весьма затруднительным, так как приходит­ся применять специальные разрывные функции или строить системы дифференциальных уравнений, описывающих различные части кон­струкции. Решение таких дифференциальных уравнений существен­но усложняет процесс анализа и не всегда приводит к удовлетвори­тельному результату.

Естественным развитием рассмотренных выше численных ме­тодов стал метод конечных элементов. С математической точки зре­ния метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой один из численных методов решения дифференциальных уравнений. Более

13

того, приведенные выше методы можно считать частным случаем метода конечных элементов при числе элементов, равном 1.

Основное отличие МКЭ от рассмотренных методов состоит в том, что в этих методах решение уравнения отыскивается в виде функции, аппроксимирующей решение уравнения в целом, в то вре­мя как в МКЭ решение строится в виде набора однотипных функций, опи­сывающих области конечных размеров. При этом каждая такая область или конечный элемент обладает теми же свойствами, что и вся система в целом. Все конечные элементы соединяются между собой в узлах.

Формальное математическое представление аппроксимирующих функций в методе конечных элементов имеет вид

(1.25)

(1.25')

где Е - число подобластей или элементов, на которые разделяются области определения решения со и граничных условий Г.

Если подобласти, на которые разделена система, имеют простую форму и свойства, определяемые базисными функциями, то процесс получения решения сводится к представлению сложной области на­бором простых элементов с известными свойствами, соединяющихся между собой в узлах. В этом и заключается основная идея метода конечных элементов.

Пример 5. Рассмотрим балку, шарнирно опертую и загруженную равномерно распределенной нагрузкой д.

На длине балкивыберем М + 1 узлов (рис. 1.1). Узлу

с номером т сопоставим функцию и построим аппроксимацию



Номер элемента

Рис. 1.1. Нумерация узлов и конечных элементов для примера 5


Выберем базисные функции для конечного элемента

Интегрирование по частям позволяет получить более простое выражение вида

Система линейных уравнений метода Галёркина имеет вид


(1.27)


где коэффициенты и свободные члены определяются по формулам

(1.28)


Выполняя вычисления по формулам (1.28), для первого конечного элемента длиной ЬЕ получим

Получение разрешающей системы уравнений для всей конструк­ции осуществляется при помощи процедуры объединения конечных элементов. Для этого матрицы коэффициентов К конечных элементов суммируются в узлах с одинаковыми номерами и записываются в об­щую матрицу, размерность которой равна (М + 1) • (М + 1). Так, для М = 6 матрица коэффициентов системы уравнений (1.27) имеет вид



Значения в строке ср являются величинами изгибающих момен­тов в узлах (рис. 1.1) дляТочное значение изгибающего

момента в середине пролета для балки равно 0,125. Расхождение со­ставляет 9,6 %. Такое большое расхождение объясняется тем, что ап­проксимация функциями (1.26) представляет балку в виде набора пря­мых стержневых элементов, соединенных в узлах шарнирами, то есть без учета изгибных деформаций. В действительности в узлах необхо­димо учитывать не только линейные перемещения, но и углы поворота.

<< | >>
Источник: Лебедев, А. В.. Численные методы расчета строительных конструкций: учеб. пособие. 2012

Еще по теме Метод конечных элементов для решения дифференциальных уравнений:

  1. Методы численного решения дифференциальных уравнений
  2. Глава 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
  3. 2. Метод конечных элементов (МКЭ) в расчетах строительных конструкций
  4. Метод конечных разностей
  5. Основные параметры конечных элементов
  6. Матрица жесткости шарнирно-стержневого конечного элемента
  7. 7.4.4. Вывод уравнений прочности нормального сечения изгибаемого прямоугольного элемента с одиночным армированием
  8. Планировочные решения для разных типов санузлов
  9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ РАЗНЫХ ТИПОВ ПРИХОЖИХ
  10. УСТРОЙСТВО сверхплоских полов для СКЛАДОВ - ПРОБЛЕМЫ И РЕШЕНИЯ
  11. Автоматический полив: метод орошения для стеллаже
  12. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ РЕМОНТА БЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
  13. Рама для выступающих из потолка элементов
  14. ИЗДЕЛИЯ ДЛЯ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬ- СТВА, АЭРОДРОМНЫХ ПОКРЫТИЙ И ЭЛЕМЕНТЫ БЛАГОУСТРОЙСТВА
  15. 1.4.1.1 тип. Силикаты с кремнекислородными мотивами конечных размеров
  16. Методы взвешенных невязок