Методы взвешенных невязок

Моделирование поведения системы дифференциальными урав­нениями предполагает отыскание решения в виде функцииудов­летворяющей граничным условиям.

Если построить некоторую фун­кциюпринимающую на границе области те же значения, что и функциято можно считать, что функцияи будет искомым решением. Аппроксимацию функцииможно отыскивать в виде

(ЕЮ)

где ат - неопределенные параметры;

- базисные функции, обладающие свойством N = О

(Е - граница исследуемой области; для одномерной задачи это гра­ничные точки, для двумерной - линия);

Л

Z - аппроксимация функции Z.

Введем погрешность, или невязку, аппроксимации,

(1.11)

Для уменьшения невязки (1.11) используется условие

(1.12)

где- весовые функции;

- область определения функций.

Запишем дифференциальное уравнение в общем виде [1]:

(1.13)

где- линейный дифференциальный оператор.

Решение уравнения (1.13) должно удовлетворять краевым усло­виям

(1.14)

где В - соответствующий линейный дифференциальный оператор.

Используем для аппроксимации решения уравнения (1.13) функции (1.10). Подставляя (1.10) в (1.13), получим невязку:

(1.15)

Выражение (1.16) при I = 1,2,... ,Мприводит к системе линей­ных уравнений вида

В соответствии с методом взвешенных невязок выберем весо­вые функции (IV / = 1, 2, ...) и выполним условие (1.12)



функция Дирака, то метод носит название метода поточечных коллокаций.

Б. Г. Галёркиным было предложено в качестве весовых функций выбирать сами базисные функцииТакой метод носит название метода Бубнова - Галёркина.

Пример 2. Рассмотрим решение задачи из примера 1 методом Бубнова - Талёркина. Дифференциальный оператор в (1.13) имеет вид

Выберем в качестве базисных функции вида

(1.19)

удовлетворяющие краевым условиям.

Тогда можно построить аппрок­симирующую функцию

и, подставляя (1.19) в (1.18), получим

где L - длина балки; q - распределенная нагрузка.

Ограничиваясь значениями l,m = 1, 2, получим

Решение полученной системы уравнений при q = 1 и L = 1 следующее:

Искомая функция

представляет собой функцию распределения изгибающего момента по длине балки. Если найти момент в точкеполучимМ(0,5) =

= 0,125, что при принятых значениях q и Ь соответствует точному значению М(0,5) =

Пример 3. Для Ьалки с двумя защемленными концами диффе­ренциальное уравнение имеет вид (1.1'). В качестве решения будем искать функцию прогибов балки. Краевые условия:

Для учета подобных краевых условий в методе Бубнова - Еалёр- кина применяется общий подход, позволяющий одновременно апп­роксимировать решение дифференциального уравнения и краевые условия. При этом аппроксимирующая функция

может не удовлетворять краевым условиям. Тогда к невязке (1.15) по области определения функции решения добавляется невязка в крае­вых условиях

и условие (1.16) принимает вид

(1.21)

В этом случае коэффициенты системы уравнений (1.17) будут вычисляться по формулам

(1.22)

где Е - область определения граничных условий.

Ддя рассматриваемого примера дифференциальные операторы

10

Выбирая в качестве базисных функции

получим длятедующие значения коэффициентов и свобод­

ных членов системы (1.17):

Принимая, как и прежде,найдем

Соответственно функция решения

1.2.1.

<< | >>
Источник: Лебедев, А. В.. Численные методы расчета строительных конструкций: учеб. пособие. 2012

Еще по теме Методы взвешенных невязок:

  1. Вариационные методы
  2. Другие методы рыхления пород.
  3. Методы численного решения дифференциальных уравнений
  4. Физические методы бурения.
  5. Метод конечных разностей
  6. Недостатки метода
  7. § 80. Стандартизация методов и средств измерений и контроля
  8. Метод холодной сварки в домашних условиях
  9. Метод перемещений как основа МКЭ
  10. Методы рыхления скальных пород взрыванием.
  11. Анализ методов определения сметной стоимости
  12. Методы выращивания растений
  13. Глава 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
  14. Укладка паркета «плавающим» методом
  15. Клеевой метод оштукатуривания
  16. УПРОШЕННЫЙ МЕТОД ПОДБОРА ПЕЧЕЙ
  17. Бескаркаснаяоблицовка стены методом наклеивания
  18. Выбор методов организации и производства работ
  19. СВОЙСТВА ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ И МЕТОДЫ ИХ КОНТРОЛЯ