Общая формула вычисления матриц жесткости

Выше было показано, как можно получить матрицу жесткости конечного элемента, задавая единичные перемещения в узлах и опре­деляя соответствующие реакции в связях. Таким способом можно получить матрицы жесткости лишь для самых простых стержневых элементов, когда зависимость между усилиями и деформациями из­вестна.

Как правило, для большинства конечных элементов, исполь­зуемых в расчетах сложных систем, зависимости между усилиями и деформациями не устанавливаются простыми формулами, и опре­делить реакции в узловых связях из простых уравнений равновесия невозможно. В этом случае для вывода матрицы жесткости конечно­го элемента необходимо задать функцию, описывающую его напря­женно-деформированное состояние.

Выведем формулу, позволяющую вычислить элементы матрицы жесткости. Воспользуемся принципом возможных перемещений.

Для определенности рассмотрим конечный элемент, показанный на рис. 2.7. Для этого конечного элемента в каждом узле будем учи­тывать две степени свободы: линейное перемещение, перпендикуляр­ное оси стержня, и угол поворота. Тогда матрица жесткости будет иметь порядок (4 х 4).

Для описания деформированного состояния такого стержня ис­пользуем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде

35


(2.18)

где- функция прогибов стержня.

Так как функция 7(х) заранее не известна, необходимо задать ее так, чтобы она удовлетворяла уравнению (2.18). Подробно вопросы выбора функций и их параметров для различных дифференциальных уравнений можно найти в [1]. В данном случае функция, аппрокси­мирующая функциюдолжна иметь не равные нулю производ­ные до 4-го порядка включительно. Например, можно задать эту фун­кцию в виде полинома третьей степени по х [2]

/

Рис. 2.7. Изгибаемый стержневой конечный элемент с двумя степенями свободы в узле


Для вывода матрицы жесткости зададим по направлению узло­вых связей конечного элемента линейные и угловые единичные пере­мещения. Линейные перемещения можно определить непосредственно по формуле (2.20). Для определения углов поворота продифференци­руем (2.20) по х. Получим


(2.21)

Подставляя в (2.20) и (2.21) координаты левого и правого узлов стержня, составим выражения для единичных перемещений и углов поворота. Все перемещения последовательно запишем в виде матрицы


откуда

В каждом столбце матрицызаписаны перемещения, заданные по направлению узловых связей последовательно.

Так, в первом стол­бце

Для определения деформаций стержня запишем выражение вто­рой производной функции перемещений:

(2.21')

Работа внутренних сил на деформациях, соответствующих пе­ремещениям

(2.22)

Подставляя в (2.22) выражение для(2.21'), получим

(2.23)

Работа внешних сил определяется выражением (2.11) и в дан­ном случае




Приравнивая работу внешних и внутренних сил, получим окон­чательно для определения матрицы жесткости стержневого изгибае­мого элемента (см. рис. 2.7) выражение

(2.24)

Операция транспонирования матриц в (2.23) обусловлена пра­вилами матричной алгебры.

Формула (2.24), выведенная для изгибаемого стержня с двумя степенями свободы в узле, в действительности может быть использо­вана для получения матриц жесткости любого конечного элемента. Достаточно лишь подставить в (2.24) соответствующие выражения для перемещений и деформаций, а также дифференциальные зависи­мости между усилиями и деформациями [2].

Матрица жесткости, вычисленная по формуле (2.24) для поло­жительных направлений узловых перемещений по рис. 2.7, имеет вид

(2.25)

Используя матрицу (2.25), можно решать задачи расчета стати­чески неопределимых балок и рам. Однако для расчета рамных сис- 6а1 оаТ а\ ааёпТТ ёйд аабйёТ I з&\ йёуёа! а ц Т Тёада I йё I абёп. 2.1, в. Матрицу жесткости этого конечного элемента можно получить, объе­динив матрицы (2.1) и (2.25). Объединение этих матриц дает матрицу

(2.26) . Матрица жесткости изгибаемого стержня с шарнирным кон­цом приводится в приложении.


2.4.

<< | >>
Источник: Лебедев, А. В.. Численные методы расчета строительных конструкций: учеб. пособие. 2012

Еще по теме Общая формула вычисления матриц жесткости:

  1. Матрица жесткости шарнирно-стержневого конечного элемента
  2. Матрица жесткости шарнирно-стержневого элемента в глобальной системе координат
  3. Глава 1. ОБЩАЯ ЧАСТЬ
  4. ОБЩАЯ КОМНАТА
  5. Устройство пояса жесткости
  6. Общая характеристика потолков из минераловолокнистых плит
  7. Общая характеристика потолков из минераловатных плит
  8. Минераловатные плиты повышенной жесткости
  9. Минераловатные мягкие, полужесткие, жесткие и повышенной жесткости плиты на синтетическом связующем (ГОСТ 9573)
  10. Определение усилий