Определение усилий

При расчете стержневых систем усилия в расчетных сечениях конечных элементов определяются по формуле (2.14) при помощи матрицы жесткости.

При расчете континуальных систем, например плит, усилия при выводе дифференциального уравнения изгиба предполагаются рас­пределенными.

Они вычисляются при помощи матрицы усилий, ко­торую необходимо определять дополнительно.

Процесс получения матрицы усилий продемонстрируем на при­мере стержневого элемента. В общем случае матрица усилий опреде­ляется через матрицу жесткости бесконечно малого элемента С. Для стержневого изгибаемого элемента С = £1/, для шарнирно-стержнево­го элемента С = Шсхемы балки и воз­можной конечно-элементной модели.

Рис. 2.9. Схема балки и возможная конечно-элементная модель


Пример 7. Расчет балки методом конечных элементов. Расчет­ная схема, конечно-элементная модель балки и нумерация узлов, ко­нечных элементов и узловых перемещений приводятся на рис. 2.10. Для расчета будем использовать матрицу (2.25).




А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций Матрицы жесткости конечных элементов (2.25) имеют вид

(2.33)


В результате преобразования (2.15) матрицы примут вид


Для решения задачи переведем матрицы (2.33) в глобальную систему координат (2.15). Матрица преобразования координат

Так как все конечные элементы имеют одинаковые размеры и жесткости, матрицы для них одинаковые. Знаки элементов 1-й строки и 1-го столбца матрицы соответствуют направлению линейного пере­мещения левого узла конечного элемента вниз, в отличие от направ­ления, показанного на рис. 2.7. Такое правило знаков удобнее исполь­зовать при расчете балок. Матрицы г подставляются в матрицу конечно-элементной модели в соответствии с номерами узловых пе­ремещений каждого элемента.

При формировании матрицы К матрицы конечных элементов записываются в матрицу так, чтобы их главная диагональ совпадала

с главной диагональю матрицы К. Так как у соседних элементов но­мера узловых перемещений совпадают, то в соответствующие ячейки матрицы^ попадают одновременно коэффициенты матриц гг .... /у. представляющие собой реакции в связях от перемещений, задавае­мых на правом конце конечного элемента с номером g и левом конце конечного элемента с номером g +1. Эти коэффициенты суммируют­ся. Матрица жесткости конечно-элементной модели имеет порядок (10x10) в соответствии с общим числом узловых перемещений.

Свободные члены системы уравнений определяются, как в ме­тоде перемещений. Вычислив для элемента 1 значения узловых со­ставляющих нагрузки (2.31), получим


Для определения усилий можно воспользоваться либо матрицей (2.29), либо матрицей жесткости (2.25). В первом случае изгибающие моменты вычисляются в трех сечениях стержня, во втором - в сече­ниях, расположенных по концам элемента.

Чтобы вычислить усилия, сформируем векторы перемещений для всех конечных элементов. Для этого выберем из вектора решения си­стемы уравнений V не равные нулю перемещения в узлах конечных

элементов и дополним их нулевыми значениями из вектора гранич­ных условий. Например, для элемента с номером 1 первые три пере­мещения нулевые, а четвертое (угол поворота узла 2) равно 13,33. Аналогично формируются и остальные векторы перемещений. Они имеют вид (множитель \/Ш опущен):


Каждый из векторов усилий содержит значения поперечных сил и моментов в концевых сечениях конечного элемента от узловой на­грузки. Положение расчетных сечений показано на рис. 2.7. Усилия в расчетных сечениях

(2.34)

Отрицательное значение поперечной силы в левом сечении каж­дого конечного элемента обусловлено используемым правилом зна­ков для единичного перемещения 2^ при вычислении матрицы жест­кости (2.33).

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил приводятся на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Эпюры моментов и поперечных сил


Для построения эпюры моментов в элементе 1 к узловой эпюре, значения которой содержатся в векторе £ нужно приплюсовать таб­личную эпюру метода перемещений для стержня с двумя защем­ленными концами:


Пример 8.

Расчет балки на упругом основании. Расчетная схема балки и конечно-элементная модель приведены на рис. 2.12. Для уче­та упругого основания используем матрицы из приложения. При рас­чете балки на упругом основании необходимо задаться числовыми значениями жесткостей стержней и упругого основания. Примем

Коэффициент постели к в (2.31) имеет размерность кН/м7 Для вычисления коэффициента к0 коэффи­циент к умножается на ширину поперечного сечения балки, которая в данном примере принята равной 1 м.

Рис. 2.12. Схема балки для примера 8


Граничные условия для рассматриваемой системы:

При вычислении коэффициентов матриц жесткости для элемен­тов 1 и 4 необходимо матрицу из приложения перевести в глобаль­ную систему координат по формуле (2.15). Матрица преобразования будет иметь вид


Матрицу жесткости для элемента 4 необходимо также подверг­нуть преобразованию по (2.15) при помощи матрицы


Это преобразование переводит матрицу жесткости для элемента с шарниром на левом конце и правым защемлением (элемент 1) в мат­рицу для элемента с левым защемлением и правым шарниром (эле­мент 4). Координатным преобразованиям должны быть подвергнуты и матрицы реакций упругого основания для элементов 4 и 2. Матрица преобразования координат для этих элементов имеет вид

src="/files/uch_group36/uch_pgroup20/uch_uch321/image/167.jpg">




Усилия в расчетных сечениях:

Рис. 2.13. Эпюры усилий для примера 8


Эпюры моментов и поперечных сил на участках балки с упру­гим основанием криволинейные. Для уточнения характера эпюр на этих участках необходимо добавить в конечно-элементную модель дополнительные узлы.

1. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. - М.: МИР, 1986.

2. Масленников, А. М. Расчет конструкций методом конечных элемен­тов / А. М. Масленников. - Куйбышев, 1983.

3. Масленников, А. М. Приложение метода конечных элементов к расче­ту строительных конструкций / А. М. Масленников. - Л., 1978.

4. Розин, Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим си­стемам / Л. А. Розин. - М.: Стройиздат, 1977.

5. Лебедев, В. А. Статика твердого тела на основе матричных методов с применением ЭВМ / В. А. Лебедев. - Л., 1981.

Матрицы жесткости и упругого основания стержневого элемента с шарнирным концом:


Приложение

Матрицы жесткости и упругого основания стержневого элемента с защемленными концами (см. рис. 2.7):



Введение................................................................................................................................ 3

Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений...................... 4

1.1. Общие положения 4

1.2. Методы численного решения дифференциальных уравнений 5

1.2.1. Метод конечных разностей 5

1.2.2. Методы взвешенных невязок 7

1.2.3. Вариационные методы 11

1.2.4. Метод конечных элементов для решения

дифференциальных уравнений.......................................................................... 13

1.2.5. Основные выводы 17

Глава 2. Расчет строительных конструкций...................................................................... 19

2.1. Метод конечных элементов (МКЭ) в расчетах

строительных конструкций.................................................................................... 19

2.2. Метод перемещений как основа МКЭ 20

2.3. Основные параметры конечных элементов 20

2.4. Матрица жесткости шарнирно-стержневого

конечного элемента................................................................................................. 23

2.5. Локальная и глобальная системы координат 25

2.6. Матрица жесткости шарнирно-стержневош элемента

в глобальной системе координат........................................................................... 28

2.7. Общая формула вычисления матриц жесткости 35

2.8. Определение усилий 39

2.9. Приведение нагрузки к узлам 40

2.10. Матрица учета реакций упругого основания 42

2.11. Построение конечно-элементной модели 42

Список использованной литературы................................................................................. 52

Приложение.................................................................................................................. 53

<< |
Источник: Лебедев, А. В.. Численные методы расчета строительных конструкций: учеб. пособие. 2012

Еще по теме Определение усилий:

  1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ СТРОИТЕЛЬСТВА
  2. Печи с определенными функциями
  3. Определение инвентаризационной стоимости
  4. Определение трудоемкости работ
  5. Определение места
  6. Основные термины и определения
  7. Определение процента физического износа
  8. Определение состава объекта
  9. 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ
  10. Определение функционального комплекса