Вариационные методы

Еще одной большой группой приближенных методов анализа напряженно-деформированного состояния конструкций являются вариационные методы.

В отличие от рассмотренных выше методов, при использовании вариационных методов формируется некий вариационный принцип.

Например, при анализе напряженно-деформированного состояния механических систем функция, соответствующая истинному напря­женному состоянию конструкции, придает минимум функционалу по­тенциальной энергии системы П. Записывая условие стационарности функционала потенциальной энергии в виде 5П = 0, можно получить систему разрешающих уравнений, аналогичных уравнениям (1.15).

Для упругих систем потенциальную энергию деформации можно определить как сумму работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях. Например, для балки, загруженной распределенной нагрузкойвыражение для работы внешних сил имеет вид

Работа внутренних сил

Потенциальная энергия системыЕсли задаться те­

перь функцией прогибов балки в виде

то условие стационарности функционала потенциальной энергии при­мет вид

(1-23)

Условие (1.23) приводит к системе линейных уравнений для оп­ределения неизвестных коэффициентов ат. Этот метод был разрабо­тан швейцарским математиком В. Ритцем и носит его имя.

Пример 4. Рассмотрим решение задачи из примера 1 методом Ритца. Для шарнирно опертой по концам балки примем в качестве базисных функции

Тогда функционал потенциальной энергии системы


Подставляя (1.24) в (1.23) при М = 3, получим систему линей­ных уравнений, решив которую, найдем значения

и функцию прогибов балки в виде

Точность получаемых результатов во всех рассмотренных выше примерах существенно зависит от выбора базисных функций. Если в последнем примере выбрать, например, функцию

1.2.1.

<< | >>
Источник: Лебедев, А. В.. Численные методы расчета строительных конструкций: учеб. пособие. 2012

Еще по теме Вариационные методы:

  1. Другие методы рыхления пород.
  2. Методы численного решения дифференциальных уравнений
  3. Физические методы бурения.
  4. Метод конечных разностей
  5. Методы взвешенных невязок
  6. Недостатки метода
  7. § 80. Стандартизация методов и средств измерений и контроля
  8. Метод холодной сварки в домашних условиях
  9. Метод перемещений как основа МКЭ
  10. Методы рыхления скальных пород взрыванием.
  11. Анализ методов определения сметной стоимости
  12. Методы выращивания растений
  13. Глава 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
  14. Укладка паркета «плавающим» методом
  15. Клеевой метод оштукатуривания
  16. УПРОШЕННЫЙ МЕТОД ПОДБОРА ПЕЧЕЙ
  17. Бескаркаснаяоблицовка стены методом наклеивания
  18. Выбор методов организации и производства работ
  19. СВОЙСТВА ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ И МЕТОДЫ ИХ КОНТРОЛЯ
  20. Метод конечных элементов для решения дифференциальных уравнений