Методы взвешенных невязок

Моделирование поведения системы дифференциальными урав­нениями предполагает отыскание решения в виде функцииудов­летворяющей граничным условиям.

(ЕЮ)

где ат - неопределенные параметры;

- базисные функции, обладающие свойством N = О

(Е - граница исследуемой области; для одномерной задачи это гра­ничные точки, для двумерной - линия);

Л

Z - аппроксимация функции Z.

Введем погрешность, или невязку, аппроксимации,

(1.11)

Для уменьшения невязки (1.11) используется условие

(1.12)

где- весовые функции;

- область определения функций.

Запишем дифференциальное уравнение в общем виде [1]:

(1.13)

где- линейный дифференциальный оператор.

Решение уравнения (1.13) должно удовлетворять краевым усло­виям

(1.14)

где В - соответствующий линейный дифференциальный оператор.

Используем для аппроксимации решения уравнения (1.13) функции (1.10). Подставляя (1.10) в (1.13), получим невязку:

(1.15)

Выражение (1.16) при I = 1,2,... ,Мприводит к системе линей­ных уравнений вида

В соответствии с методом взвешенных невязок выберем весо­вые функции (IV / = 1, 2, ...) и выполним условие (1.12)

функция Дирака, то метод носит название метода поточечных коллокаций.

Б. Г. Галёркиным было предложено в качестве весовых функций выбирать сами базисные функцииТакой метод носит название метода Бубнова - Галёркина.

Пример 2. Рассмотрим решение задачи из примера 1 методом Бубнова - Талёркина. Дифференциальный оператор в (1.13) имеет вид

Выберем в качестве базисных функции вида

(1.19)

удовлетворяющие краевым условиям. Тогда можно построить аппрок­симирующую функцию

и, подставляя (1.19) в (1.18), получим

где L - длина балки; q - распределенная нагрузка.

Ограничиваясь значениями l,m = 1, 2, получим

Решение полученной системы уравнений при q = 1 и L = 1 следующее:

Искомая функция

представляет собой функцию распределения изгибающего момента по длине балки.

= 0,125, что при принятых значениях q и Ь соответствует точному значению М(0,5) =

Пример 3. Для Ьалки с двумя защемленными концами диффе­ренциальное уравнение имеет вид (1.1'). В качестве решения будем искать функцию прогибов балки. Краевые условия:

Для учета подобных краевых условий в методе Бубнова - Еалёр- кина применяется общий подход, позволяющий одновременно апп­роксимировать решение дифференциального уравнения и краевые условия. При этом аппроксимирующая функция

может не удовлетворять краевым условиям. Тогда к невязке (1.15) по области определения функции решения добавляется невязка в крае­вых условиях

и условие (1.16) принимает вид

(1.21)

В этом случае коэффициенты системы уравнений (1.17) будут вычисляться по формулам

(1.22)

где Е - область определения граничных условий.

Ддя рассматриваемого примера дифференциальные операторы

10

Выбирая в качестве базисных функции

получим длятедующие значения коэффициентов и свобод­

ных членов системы (1.17):

Принимая, как и прежде,найдем

Соответственно функция решения

1.2.1.