Методы взвешенных невязок
Моделирование поведения системы дифференциальными уравнениями предполагает отыскание решения в виде функцииудовлетворяющей граничным условиям.




(ЕЮ)
где ат - неопределенные параметры;
- базисные функции, обладающие свойством N = О
(Е - граница исследуемой области; для одномерной задачи это граничные точки, для двумерной - линия);
Л
Z - аппроксимация функции Z.
Введем погрешность, или невязку, аппроксимации,
(1.11)
![]() |
Для уменьшения невязки (1.11) используется условие
(1.12)
где- весовые функции;
- область определения функций.
Запишем дифференциальное уравнение в общем виде [1]:
(1.13)
где- линейный дифференциальный оператор.
Решение уравнения (1.13) должно удовлетворять краевым условиям
(1.14)
где В - соответствующий линейный дифференциальный оператор.
Используем для аппроксимации решения уравнения (1.13) функции (1.10). Подставляя (1.10) в (1.13), получим невязку:
(1.15)
Выражение (1.16) при I = 1,2,... ,Мприводит к системе линейных уравнений вида ![]() |
В соответствии с методом взвешенных невязок выберем весовые функции (IV / = 1, 2, ...) и выполним условие (1.12)
![]() |
функция Дирака, то метод носит название метода поточечных коллокаций.
Б. Г. Галёркиным было предложено в качестве весовых функций выбирать сами базисные функцииТакой метод носит название метода Бубнова - Галёркина.
Пример 2. Рассмотрим решение задачи из примера 1 методом Бубнова - Талёркина. Дифференциальный оператор в (1.13) имеет вид
![]() |
Выберем в качестве базисных функции вида
(1.19)
удовлетворяющие краевым условиям. Тогда можно построить аппроксимирующую функцию
и, подставляя (1.19) в (1.18), получим
где L - длина балки; q - распределенная нагрузка.
Ограничиваясь значениями l,m = 1, 2, получим
Решение полученной системы уравнений при q = 1 и L = 1 следующее:
Искомая функция
представляет собой функцию распределения изгибающего момента по длине балки.
Если найти момент в точке
= 0,125, что при принятых значениях q и Ь соответствует точному значению М(0,5) =
Пример 3. Для Ьалки с двумя защемленными концами дифференциальное уравнение имеет вид (1.1'). В качестве решения будем искать функцию прогибов балки. Краевые условия:
Для учета подобных краевых условий в методе Бубнова - Еалёр- кина применяется общий подход, позволяющий одновременно аппроксимировать решение дифференциального уравнения и краевые условия. При этом аппроксимирующая функция
может не удовлетворять краевым условиям. Тогда к невязке (1.15) по области определения функции решения добавляется невязка в краевых условиях
и условие (1.16) принимает вид
(1.21)
В этом случае коэффициенты системы уравнений (1.17) будут вычисляться по формулам
(1.22)
где Е - область определения граничных условий.
Ддя рассматриваемого примера дифференциальные операторы
10
Выбирая в качестве базисных функции
получим длятедующие значения коэффициентов и свобод
ных членов системы (1.17):
Принимая, как и прежде,найдем
Соответственно функция решения
1.2.1.
Еще по теме Методы взвешенных невязок:
- Вариационные методы
- Другие методы рыхления пород.
- Методы численного решения дифференциальных уравнений
- Физические методы бурения.
- Метод конечных разностей
- Недостатки метода
- § 80. Стандартизация методов и средств измерений и контроля
- Метод холодной сварки в домашних условиях
- Метод перемещений как основа МКЭ
- Методы рыхления скальных пород взрыванием.
- Анализ методов определения сметной стоимости
- Методы выращивания растений
- Глава 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- Укладка паркета «плавающим» методом
- Клеевой метод оштукатуривания
- УПРОШЕННЫЙ МЕТОД ПОДБОРА ПЕЧЕЙ
- Бескаркаснаяоблицовка стены методом наклеивания
- Выбор методов организации и производства работ
- СВОЙСТВА ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ И МЕТОДЫ ИХ КОНТРОЛЯ