<<
>>

Тема 9. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УПРУГИХ ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ

Приложение нагрузки к любому сооружению вызывает его деформа­цию. В реальных случаях нагрузка ^ возрастает медленно. Плавное прило­жение нагрузки называется статиче­ским.

Упругой системой называется такая система, которая после удаления нагрузки возвращается в начальное недеформированное состояние.

Ли­нейно-деформируемыми системами называются такие, в которых пере­мещения и деформации выражаются линейными однородными функция­ми внешних силНапример, для рис. 28 имеем

(1)

где а - коэффициент, зависящий от материала, схемы и размера соору­жения.

Увеличим нагрузкунаЭто вызовет увеличение перемещения наСоставим выражение элементарной работы ёШ, отбрасывая при этом бесконечно малые величины второго порядка малости:

Рис.

28

а с учётом формулы (1) получаем теорему Клайперона

для сосредоточенной нагрузки

для сосредоточенного моментаугол поворота

поперечного сечения стержня;

для распределённой нагрузкиплощадь эпюры пе­

ремещения на участке действия этой распределённой нагрузки.

При вычислении работы применяется принцип независимости дейст­вия сил, например, работа внешних сил, изображённых на рис.

29, равна

Выразим работу внешних сил через внутренние усилия.

Подсчитаем элементарную ра­боту нормальных сил N (рис. 30):

vspace=0> (4)

Суммируя три результата (2 - 4), получим значение элементарной

На основании закона сохранения энергии- потенци­

альная энергия.

Подсчёты показывают, что для системы, работающей на изгиб, пер­вый член формулы (6) составляет около 3%, второй - около 1%, третий - порядка 96%.

где к - поправочный коэффициент, учитывающий неравномерное распре деление касательных напряжений т по поперечному сечению. И наконец. подсчитаем элементарную работу изгибающих моментов М (рис. 32):

Принцип возможных перемещений

Рассмотрим систему в состоянии равновесия под действием задан­ных сил. Возможными перемещениями называются ничтожно малые уп­ругие перемещения, вызываемые какими-либо силами, температурой или перемещениями опор, которые по своему характеру принимаются как бесконечно малые. Когда система совершает возможные перемещения, величина и направление внешних и внутренних сил, отвечающих её ис­ходному состоянию, остаются неизменными, а поэтому их работа будет без коэффициента 1/2.

Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Введём обозначение: Ашп - перемещение в направлении силы «т» от силы «п». Под перемещением будем понимать смещение и угол пово­рота, а под силой - силу и момент. Рассмотрим два состояния (рис. 33), для которых

или

(7)

Приложим к балке последовательно сначала силуа затем силу (рис. 33, а), тогда

Приравнивая выражения (7) и (8), получим теорему о взаимности работ (теорему Бетти):

(8)

«Возможная работа внешних или внутренних сил первого состояния на соответствующих перемещениях второго состояния равна возможной работе внешних или внутренних сил второго состояния на соответствую­щих перемещениях первого состояния», т.е.

(9)

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла)

На основании теоремы о взаимности работ (9) имеемно

если принять, чтотогда получаемили в общем виде

(10)

«Перемещение точки приложения первой единичной силы по её на­правлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точ­ки приложения второй единичной силы по её направлению, вызванному первой единичной силой»

Литература: [4, гл. 1]; [5, гл. 1]; [7, гл. 1].

Вопросы для самопроверки

1. Т еорема о взаимности работ (теорема Бетти).

2. Потенциальная энергия деформации плоских систем, выраженная через работу внутренних сил.

<< | >>
Источник: Буланов, В.Е.. Строительная механика : в 2 ч. : учебное пособие. 2012

Еще по теме Тема 9. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УПРУГИХ ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ:

  1. Тема 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
  2. Тема 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ
  3. Глава 4. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЭКСПЛУАТАЦИИ СООРУЖЕНИЙ СИСТЕМ ВОДОСНАБЖЕНИЯ
  4. Линейная температурная усадка, средний диаметр волокна и содержание органических веществ
  5. Основные этапы выполнения предварительных мер для подготовки конкретного комплекса мероприятий по обеспечению безопасной и стабильной работы рассматриваемой системы водоснабжения
  6. УПРУГИЕ ПОКРЫТИЯ ПОЛА
  7. 7.1.2. Расчет по деформациям балок из упругих материалов
  8. Прочность, сжимаемость, упругость, гибкость и уплотнение
  9. Ремонтируем пол с поврежденной упругой плиткой
  10. Ремонт полов из полимерных рулонных, плиточных и других упругих материалов
  11. Тема 2. Производительность строительных машин
  12. Тема 9. Способы уплотнения грунтов
  13. Тема 1. Общие вопросы технологии и организации земляных работ